Spazio di stato

Una forma generale di rappresentazione dello spazio di stato di un sistema lineare con p {displaystyle p}

p

ingressi, q {displaystyle q}

q

uscite e n {displaystyle n}

n

le variabili di stato sono scritte come segue: x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {displaystyle {distyle {mathbf {x} }}(t)=A(t){mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

{div>{div>{div>{displaystyle {\mathbf {x}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}
. y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}

dove

x ( t ) ∈ R n {displaystyle x(t){R} ^{n}}

{displaystyle x(t){R} ^{n}}

es el vector de estados y ( t ) ∈ R q {{displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}

{\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}

es el vector de salidas u ( t ) ∈ R p {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}

{\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}

es el vector de entradas A ( t ) ∈ R n × n {\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}

{\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}

es la matriz de estados B ( t ) ∈ R n × p {\displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n\times p}}

{displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n\times p}}

es la matriz de entrada C ( t ) ∈ R q × n {displaystyle C(t)\in \mathbb {R} ^{q\times n}

{displaystyle C(t)\in \mathbb {R} ^{q\times n}}

es la matriz de salida D ( t ) ∈ R q × p {displaystyle D(t)\in

{displaystyle D(t)\in {mathbb {R} ^{qtimes p}}

è la matrice di trasmissione diretta x ˙ ( t ) := d x ( t ) d t {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t):={mathbf {x} (t) \over dt}}

{displaystyle {dot {mathbf {x}(t):={dmathbf {x} (t) {{dmathbf dt}}

Nota che in questa formulazione generale tutte le matrici sono assunte essere invarianti nel tempo, ad esempio, alcuni o tutti i loro elementi possono essere dipendenti dal tempo. Nei sistemi invarianti nel tempo le matrici A, B, C e D sono costanti, non sono una funzione di t.

La variabile temporale t {displaystyle t}

t

può essere una “continua” (es. ad esempio: t ∈ R {{displaystyle t {R} }

{displaystyle t {R} }

) o uno discreto (ad esempio. Ad esempio: t ∈ Z {displaystyle t\in \mathbb {Z} }

{displaystyle t\in \mathbb {Z} }

): in quest’ultimo caso la variabile temporale viene solitamente indicata come k {displaystyle k}

k

. A seconda delle considerazioni fatte, la rappresentazione del modello a spazio di stato può assumere le seguenti forme:

.

Tipo di sistema Modello di spazio statale
Continua e invariante nel tempo x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {displaystyle {{mathbf {x}}(t)=Amathbf {x} (t)+B {u} (t)}

{div>{displaystyle {dot {mathbf {x}}(t)=Amathbf {x} (t)+B “B” {u} (t)}

y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=Cathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}
Continuo y variante en el tiempo x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {displaystyle {\mathbf {x}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)

{{displaystyle {{punto {mathbf {x}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}

y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}

{{displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}
Discreto e invariante en el tiempo x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=A{mathbf {x} (k)+B\mathbf {u} (k)}

{displaystyle \mathbf {x} (k+1)=A{mathbf {x} (k)+B\mathbf {u} (k)}

y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k)}

{displaystyle \mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k)}
Discreto y variante en el tiempo x ( k + 1 ) = A ( k ) x ( k ) + B ( k ) u ( k ) {displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}

{{displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}

y ( k ) = C ( k ) x ( k ) + D ( k ) u ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}

{{displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}
Transformada de Laplace del sistema
continuo e invariante en el tiempo
s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {X} (s) (s)+B\mathbf {X} (s) (s)+B\mathbf {U} (s)}

{displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}

Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) {{displaystyle \mathbf {Y} (s)=C {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)=Cathbf {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}
Trasformazione Z del sistema
discreto invariante nel tempo
z X ( z ) = A X ( z ) + B U ( z ) {{displaystyle zmathbf {X} (z)=Amathbf {X} (z)+Bmathbf {U} (z)}

{displaystyle z\mathbf {X} (z)=Amathbf {X} (z)+Bathbf {U} (z)}

Y ( z ) = C X ( z ) + D U ( z ) {{displaystyle \mathbf {Y} (z)=C {X} (z)+Dmathbf {U} (z)}

{displaystyle \mathbf {Y} (z)=Cmathbf {X} (z)+Dmathbf {U} (z)}

Nota che i sistemi invarianti sono espressi solo nel dominio del tempo; solo gli invarianti sono espressi anche nel dominio della frequenza (con la trasformata di Laplace o Z).

La stabilità e la risposta naturale caratteristica di un sistema possono essere studiate per mezzo degli autovalori (o autovalori) della matrice A {displaystyle A}

A

. La stabilità di un modello di spazio di stato invariante nel tempo può essere facilmente determinata guardando la funzione di trasferimento del sistema in forma fattorizzata. Avrebbe una forma simile alla seguente: G ( s ) = k ( s – z 1 ) ( s – z 2 ) ( s – z 3 ) ( s – p 1 ) ( s – p 2 ) ( s – p 3 ) ( s – p 4 ) { “G ( s ) = k ( s – z 1 ) ( s – z 2 ) ( s – p 3 ) ( s – p 4 ) { “playstyle {textbf {G}}(s)=k{frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}

{displaystyle {textbf {G}}(s)=k{frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}

Il denominatore della funzione di trasferimento è uguale al polinomio caratteristico trovato prendendo il determinante di s I – A {{displaystyle sI-A}

{displaystyle sI-A}

, λ ( s ) = | s I – A | {displaystyle \mathbf {lambda } (s)=|sI-A|}

{displaystyle \mathbf {\lambda } (s)=|sI-A|}

.

Le radici di questo polinomio (gli autovalori) forniscono i poli nella funzione di trasferimento del sistema. Tali poli possono essere utilizzati per analizzare se il sistema è asintoticamente o marginalmente stabile. Un’altra alternativa per determinare la stabilità, che non coinvolge i calcoli degli autovalori, è analizzare la stabilità di Liapunov del sistema.Gli zeri trovati nel numeratore di G ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}(s)}

{displaystyle {\textbf {G}(s)}
possono analogamente essere usati per determinare se il sistema possiede una fase minima.

Il sistema potrebbe essere stabile rispetto ai suoi input e output anche se è internamente instabile. Questo potrebbe essere il caso se i poli instabili sono annullati da zeri.

ControllabilitàModifica

Articolo principale: Controllabilità

La condizione di controllabilità degli stati implica che è possibile, per mezzo di input ammissibili, dirigere gli stati da qualsiasi valore iniziale a qualsiasi valore finale entro un intervallo di tempo. Un modello di spazio di stato continuo e invariante nel tempo è controllabile se e solo se

rank = n {displaystyle {operatorname {rank} {begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n}

{displaystyle \operatorname {rank} {begin{bmatrix}BABABA^{2}B....A^{n-1}B{bmatrix}}=n}

OsservabilitàModifica

Articolo principale: Osservabilità

L’osservabilità è la misura di quanto correttamente gli stati interni di un sistema possono essere dedotti conoscendo le uscite esterne. Osservabilità e controllabilità sono matematicamente duali.

Un modello a spazio di stato continuo e invariante nel tempo è osservabile se e solo se:

rank = n {displaystyle \operatorname {rank} {begin{bmatrix}=n}

{displaystyle \operatorname {rank} {begin{bmatrix}C\CA^{n-1}end{bmatrix}=n}

(Il rango di una matrice è il numero di righe linearmente indipendenti.)

Funzione di trasferimentoModifica

Articolo principale:Funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento di un modello di spazio di stato continuo e invariante nel tempo può essere ottenuto come segue:

Prendendo la trasformata di Laplace di

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {displaystyle {mathbf {x}}(t)=Amathbf {x} (t)+B {u} (t)}

{div>{displaystyle {dot {mathbf {x}}(t)=Amathbf {x} (t)+B “B” {u} (t)}

tenemos que

s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}

{displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}

Luego, agrupamos y despejamos X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)}

{displaystyle \mathbf {X} (s)}

, dando ( s I – A ) X ( s ) = B U ( s ) {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {U} (s)}

{{displaystyle (s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {U} (s)}

X ( s ) = ( s I – A ) – 1 B U ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s) (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s)}

esto es sustituido por X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)

{displaystyle \mathbf {X} (s)}

en la ecuación de salida Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)=C {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)=Cathbf {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}

, ci rimane Y ( s ) = C ( ( ( ( s I – A ) – 1 B U ( s ) ) + D U ( s ) {displaystyle \mathbf {Y} (s)=C((s) {I} -A)^{-1}B {U} (s))+Dmathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)=C((s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s))+Dmathbf {U} (s)}

Siccome la funzione di trasferimento è definita come il tasso di uscita sull’ingresso di un sistema, prendiamo

G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) {displaystyle \mathbf {G} (s)= {Y} (s)/mathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {G} (s)=

e sostituiamo le espressioni precedenti con Y ( s ) {{displaystyle \mathbf {Y} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)}

rispetto a U ( s ) { {displaystyle \mathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {U} (s)}

,lasciando G ( s ) = C ( s I – A ) – 1 B + D {{displaystyle \mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D}

{displaystyle \mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D}

Chiaramente G ( s ) { {displaystyle \mathbf {G} (s)}

{displaystyle \mathbf {G} (s)}

deve avere q {displaystyle q}

q

da p {displaystyle p}

p

dimensioni, così come un totale di q p {displaystyle qp}

{displaystyle qp}

elementi.Allora per ogni ingresso ci sono q {displaystyle q}

q
funzioni di trasferimento con una per ogni uscita.Questo è il motivo per cui la rappresentazione dello spazio degli stati può facilmente essere la scelta preferita per i sistemi MIMO (multiple-input, multiple-output).

Forme canonicheModifica

Qualunque funzione di trasferimento che sia strettamente propria può essere scritta come uno spazio di stato con la seguente approssimazione:

Data una funzione di trasferimento, espandila per rivelare tutti i coefficienti nel numeratore e nel denominatore. Il risultato è la seguente forma:

G ( s ) = n 1 s 3 + n 2 s 2 + n 3 s + n 4 s 4 + d 1 s 3 + d 2 s 2 + d 3 s + d 4 {displaystyle. {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}}

{\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}}

.

I coefficienti possono ora essere inseriti direttamente nel modello dello spazio di stato con la seguente approssimazione:

x ˙ ( t ) = x ( t ) + u ( t ) {displaystyle {textbf {x}}}(t)={begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-.d_{4}\\1&&&&&&&&&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}(t)}

{displaystyle {{punto {textbf {x}}(t)={begin{bmatrix}-d_{1}-d_{2}-d_{3}-d_{4}\\1000\\0100\\0010\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

y ( t ) = x ( t ) {displaystyle {{textbf {y}(t)={begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}&n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}

{\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}

.

Questa realizzazione dello spazio di stato è chiamata forma canonica controllabile perché garantisce che il modello risultante è controllabile (cioè, poiché il controllo entra in una catena di integratori, può modificare ogni singolo stato). Se un sistema non è controllabile, allora non è possibile esprimerlo in questa forma canonica.

I coefficienti della funzione di trasferimento possono anche essere usati per costruire un altro tipo di forma canonica

x ˙ ( t ) = x ( t ) + u ( t ) {displaystyle {textbf {x}}}}(t)={begin{bmatrice}-d_{1}&&&0\\-d_{2}&&&0\\-d_{3}&&&1\\-d_{4}&&&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{{begin{bmatrix}n_{1}{2}{3}{4}end{bmatrix}}{textbf {u}}(t)}

{\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0000000000000>.d_{1}100\\-d_{2}010\\-d_{3}001\\-d_{4}000\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)} y ( t ) = x ( t ) {displaystyle {textbf {y}}(t)={begin{bmatrix}1&&&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}

{displaystyle {textbf {y}}(t)={begin{bmatrix}1000end{bmatrix}}{textbf {x}}(t)}

.

Questa disposizione è chiamata forma canonica osservabile e, analogamente al caso precedente, il modello risultante è necessariamente osservabile (cioè, poiché l’uscita procede da una catena di integratori, il suo valore è influenzato da ogni singolo stato). Un sistema non osservabile non può essere messo in questa forma.

Funzioni di trasferimento di eigenModifica

Le funzioni di trasferimento che sono solo eigen (e non strettamente eigen) possono anche essere trasformate in forme canoniche. L’artificio utilizzato è quello di separare la funzione di trasferimento in due parti, una strettamente propria e una costante.

G ( s ) = G E x P r ( s ) + G ( ∞ ) {displaystyle {textbf {G}}(s)={textbf {G}}_{ExPr}(s)+{textbf. {G}}(\infty )}

{displaystyle {\textbf {G}}(s)={textbf {G}}_{ExPr}(s)+{textbf {G}}(\infty )}

La funzione strettamente eigentransfer può ora essere trasformata nelle rappresentazioni canoniche dello spazio di stato usando le tecniche mostrate sopra. La rappresentazione dello spazio di stato della costante è banale.

y ( t ) = G ( ∞ ) u ( t ) {displaystyle {textbf {y}}(t)={textbf {G}}(\infty ){textbf {u}}(t)}

{displaystyle {textbf {y}}(t)={textbf {G}}(\infty ){textbf {u}}(t)}

Mettendo insieme entrambi i termini otteniamo le rappresentazioni dello spazio di stato con le matrici A, B e C determinate dalla parte strettamente propria e la matrice D determinata dalla costante.

Ecco un esempio per chiarire:

G ( s ) = s 2 + 3 s + 3 s 2 + 2 s + 1 = s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 1 {{displaystyle {textbf {G}}(s)={frac. {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}}={frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}}+1}

{displaystyle {textbf {G}}(s)={frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}}={frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}

che porta alla seguente rappresentazione controllabile

x ˙ ( t ) = x ( t ) + u ( t ) {{displaystyle {textbf {x}}(t)={begin{bmatrix}-2&&0{0begin{bmatrix}}{textbf {x}}(t)+{begin{bmatrix}1

{displaystyle {dot {textbf {x}}(t)={begin{bmatrix}-2- {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1

2\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

{displaystyle {textbf {y}}(t)={begin{bmatrix}12end{bmatrix}}{textbf {x}}(t)+{{begin{bmatrix}1end{bmatrix}}{textbf {u}}(t)}

Nota come l’output dipende direttamente dall’input. Questo è dovuto alla costante G ( ∞ ) {displaystyle {textbf {G}}(\infty )}

{displaystyle {textbf {G}}(\infty )}

nella funzione di trasferimento.

FeedbackEdit

Un metodo usato per il feedback è quello di moltiplicare l’uscita per una matrice K e mettere il risultato come ingresso al sistema: u ( t ) = K y ( t ) {displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}

{displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}

.Poiché i valori di K non sono limitati e possono essere cambiati di segno per il feedback negativo.La presenza di un segno negativo (la notazione comune) è solo per scopi notazionali e la sua assenza non influenza i risultati. x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+B {u} (t)}

{div>{displaystyle {dot {mathbf {x}}(t)=Amathbf {x} (t)+B “B” {u} (t)}

y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=C {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=Cathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}

risulta in

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B K y ( t ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+BKKmathbf {y} (t)}

{div>{displaystyle {dot {mathbf {x}}(t)=Amathbf {x} (t)+BKKMathbf {y} (t)}

y ( t ) = C x ( t ) + D K y ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+DKmathbf {y} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+DKMathbf {y} (t)}

risolvendo l’equazione di uscita per y ( t ) {{displaystyle \mathbf {y} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)}

e sostituendo nell’equazione degli stati si ottiene x ˙ ( t ) = ( A + B K ( I – D K ) – 1 C ) x ( t ) {{displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\sinistra(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right){\mathbf {x} (t)}

{displaystyle {{punto {mathbf {x}}(t)=\sinistra(A+BKK\left(I-DK\right)^{-1}C\right){mathbf {x} (t)}

y ( t ) = ( I – D K ) – 1 C x ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}

Il vantaggio di questo è che gli autovalori di A possono essere controllati scegliendo K in modo appropriato decomponendo nei suoi autovalori di ( A + B K ( I – D K ) – 1 C ) {displaystyle \left(A+BKKleft(I-DK\destra)^{-1}C\destra)}

{displaystyle \left(A+BKK\left(I-DK\destra)^{-1}C\destra)}

.Questo presuppone che il sistema ad anello aperto sia controllabile o che gli autovalori instabili di A possano essere stabilizzati dalla scelta appropriata di K.

Una semplificazione comune di questo sistema è quella di eliminare D e scegliere C uguale all’unità, il che riduce le equazioni a

x ˙ ( t ) = ( A + B K ) x ( t ) {displaystyle {\mathbf {x}(t)=\left(A+BK\right){\mathbf {x} (t)}

{displaystyle {dot {mathbf {x}}(t)=left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)}

y ( t ) = x ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)= {“{x} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=mathbf {x} (t)}

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