12-Principio di Equivalenza tra Massa ed Energia – Relatività Speciale

In un breve articolo (settembre 1905) intitolato “L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?”, Einstein conclude che se un corpo irradia luce di energia L, la massa del corpo deve diminuire di L/c2, proponendo un modo di verifica utilizzando un elemento radioattivo (Radium). Questa pubblicazione scientifica portò alla formula più famosa della storia della scienza, conosciuta come il Principio di equivalenza tra massa ed energia.

E = m c2

Questa relazione è considerata un Principio perché non ha una dimostrazione generale ed è stata trovata universalmente valida per tutte le forme di energia. La dimostrazione vista nella sezione precedente collega solo la variazione dell’energia cinetica con l’aumento della massa di una particella puntiforme, equivalente al Teorema delle forze vive della meccanica di Newton.

L’energia totale relativistica (E) è una proprietà di qualsiasi sistema fisico, massivo o non massivo, il cui valore aumenta (diminuisce) quando l’energia viene data (tolta) da qualsiasi processo, e assume il valore zero solo quando il sistema si annienta (scompare). Di conseguenza, per un dato quadro di riferimento inerziale, il suo valore dipende dallo stato del sistema fisico e sarà costante solo se il sistema fisico è isolato. È evidente, inoltre, che la grandezza Energia totale è relativa al quadro di riferimento.

Riscaldare un sistema macroscopico, caricare un orologio, aumentare la velocità di una particella, o l’assorbimento della radiazione da parte di un gas, sono diversi esempi di processi che causano un aumento dell’inerzia (massa) del sistema in questione, che rispetta:

dove è l’energia fornita al sistema nel processo. La quantità che misura l’inerzia è la massa relativistica.

Naturalmente, se il sistema perde energia per qualsiasi processo (radiazione, raffreddamento, ecc.), il sistema diminuisce di massa secondo la stessa relazione.

Per una particella puntiforme, che assumiamo senza struttura, l’unico processo di trasferimento di energia considerato possibile è il lavoro meccanico (forza applicata), prodotto di un’interazione campo-particella, che soddisfa la relazione dE=dW=F.ds=v.dp. In questo caso si considera che tutta l’energia consegnata si trasforma in cinetica (vedi capitolo precedente), variando la massa relativistica senza modificare la massa stessa. Questa assunzione è l’unica ragione per cui la massa propria è costante.

È necessario chiarire che le particelle reali, anche quelle fondamentali, potrebbero non essere puntiformi (e avere struttura). In questo caso possiamo garantire che l’automassa rimane costante solo se la particella è libera da interazioni esterne.

D’altra parte, se una particella reale è sottoposta a un’interazione ha delle forze applicate, un aspetto che Poincaré ha analizzato per il caso dell’elettrone (tensioni di Poincaré), che molto probabilmente modificano la sua morfologia e configurazione spaziale. Di conseguenza, nel quadro della Teoria della Relatività Speciale, non è possibile assicurare la costanza della massa propria di una particella accelerata.

Questo Principio stabilisce nuovi concetti da evidenziare:

  1. L’energia relativistica E rappresenta l’energia totale che si potrebbe ottenere (sotto forma di radiazione) se si potesse convertire tutta la massa relativistica in energia, come avviene nel fenomeno noto come “annichilazione di coppia”. Per la prima volta è disponibile un calcolo dell’energia totale valido per qualsiasi sistema fisico, il cui valore ha un significato fisico. Si nota che quantità come l’energia interna (termodinamica), l’energia potenziale (campi conservativi), l’energia meccanica (meccanica classica), sono definite a meno di una costante arbitraria e il loro valore numerico non ha alcun significato fisico.
  2. L’energia totale di una particella a riposo, “immagazzinata” nella sua propria massa, è data da E=m0 c2.
    I meccanismi di conversione della massa in energia radiante e viceversa, sono stati studiati durante la prima metà del XX secolo, principalmente con il formalismo della Teoria Quantistica dei Campi (iniziata negli anni 20), attualmente in fase di sviluppo.
  3. Il Principio permette di dare una definizione di massa (relativistica) compatibile con le particelle non-massive, cioè senza automassa (fotoni), generando una coerenza logica, generale e senza limitazioni, con la definizione proposta di quantità di moto (p=mv).
    La massa di qualsiasi sistema fisico, sia puntiforme che esteso, massivo o non massivo (automassa nulla), è definita come lo scalare ottenuto dal quoziente tra l’energia totale E del sistema e il quadrato della velocità della luce nel vuoto.
    La sua espressione matematica è:
    m= E/c2
    Di conseguenza, possiamo dare una definizione precisa per la quantità di moto, valida per particelle massive e non massive:
    p = E/c2 v, dove E è l’energia totale
    Nella sezione Argomenti Speciali discuteremo l’applicazione di questo concetto nell’articolo “Curvatura della luce nella Relatività Speciale”.
  4. I principi di conservazione della massa e dell’energia, che sono stati formulati indipendentemente per sistemi isolati, sono ora collegati in un unico principio come la massa e l’energia sono collegati dal Principio di Equivalenza tra massa ed energia.

Di conseguenza, il principio di equivalenza potrebbe (e dovrebbe) essere formulato come segue:

Il contenuto totale di energia di qualsiasi entità fisica è uguale alla sua massa relativistica moltiplicata per il quadrato della velocità della luce

Nota:
Molti autori, soprattutto quelli dedicati alla fisica delle particelle, propongono la sua validità solo per i corpi a riposo, con argomenti poco convincenti che risultano essere gli stessi con cui non accettano nemmeno la massa relativistica. La cosa più inspiegabile è che poi usano i concetti che rifiutano.
Nel suo documento originale di tre pagine, Einstein analizza l’emissione di radiazione e la variazione della massa nel modo usuale del formalismo della teoria, cioè dal punto di vista di due osservatori inerziali, uno a riposo rispetto al corpo e l’altro in movimento con velocità costante.
Proporre che tale dimostrazione sia valida solo per i corpi a riposo è falso, acritico e ridicolo.

Creazione e annichilimento di coppie

Questo fenomeno unico non era conosciuto all’inizio della Teoria della Relatività e la sua scoperta è dovuta proprio a questa teoria. Nel 1928 l’ingegnere elettrico (più tardi matematico e poi dottore in fisica) Paul Dirac (1902-1984) predisse l’esistenza dell’antimateria mettendo in relazione la meccanica quantistica con la relatività.
Il positrone (e+), che è l’antiparticella dell’elettrone (e-) e ne possiede le stesse proprietà tranne la carica, che è positiva, fu osservato per la prima volta da Anderson nel 1932.

La creazione di coppie è il processo per cui una particella (massiva o meno), di energia sufficiente e in certe condizioni, crea due o più particelle diverse.
Questo fenomeno è tipico negli acceleratori di particelle, nelle reazioni nucleari e nella radiazione cosmica.

Siamo interessati a trattare il caso della creazione di coppie ottenuta da fotoni di alta energia.
La quantità di moto di un fotone è non-zero qualunque sia il sistema di riferimento scelto, mentre per due particelle massive, nel particolare sistema del loro centro di massa, è zero.
Quindi, tenendo conto che in assenza di forze esterne la conservazione della quantità di moto deve essere valida in tutti i sistemi inerziali, la creazione di coppie da un fotone isolato non è fattibile. Bisogna ricordare che in questo quadro teorico la velocità relativa tra sistemi inerziali (V) è sempre inferiore a c.

Per i fotoni, il verificarsi del fenomeno richiede immancabilmente che il fotone interagisca con qualche altra entità fisica reale, poiché questa condizione è coerente con il Principio di conservazione della quantità di moto.

Come esempio descriveremo la fenomenologia di un caso caratteristico, nel quadro di riferimento in cui l’agente perturbante è a riposo dopo l’interazione:

Se un fotone di alta energia (gamma) viene perturbato (il processo di innesco del fenomeno è sconosciuto) da un nucleo, il fotone si annichilisce e vengono create due o più particelle massive. Il caso più frequente è la creazione di un elettrone e un positrone.
L’energia di un elettrone (positrone) a riposo è E0 = m0 c2 = 0,511 Mev. Di conseguenza, per la creazione di una coppia elettrone-positrone l’energia del fotone deve essere maggiore di 1,022 Mev.

Se il fotone è più energetico (Ephoton > 1,022 Mev) le particelle create avranno anche energia cinetica (in generale identica), rispettando le leggi di conservazione dell’energia e della quantità di moto. Più alta è l’energia del fotone madre, più alta è l’energia cinetica delle particelle create.

Per la conservazione del momento angolare il fotone gamma iniziale, l’elettrone e il positrone, hanno le loro velocità nello stesso piano. Supponendo che il piano sia la (x,y) e che la direzione iniziale del fotone sia coincidente con l’asse x, abbiamo:

Questo fenomeno, che è trattato nella teoria quantistica dei campi (QFT), ha avuto diverse interpretazioni (Fock, Feynman, Stueckelberg), in particolare nel trattamento quantistico. In tutti loro le relazioni relativistiche sono soddisfatte prima e dopo il processo, ma non necessariamente durante il processo, il che può essere considerato un limite del modello teorico utilizzato (QFT).
Nelle relazioni precedenti non si è tenuto conto dell’energia di legame tra elettrone e positrone che si attraggono, perché si considera che sia trascurabile rispetto all’energia del fotone madre, anche se, come vedremo, questo è seriamente discutibile.

Analizziamo alcune difficoltà del modello teorico dal punto di vista relativistico. Per il principio di conservazione della carica, che postula la conservazione della carica totale dell’universo, le due particelle devono essere create simultaneamente e questo è possibile solo se gli eventi avvengono nello stesso punto (vedi il capitolo sulla simultaneità). Se l’annichilazione del fotone e la creazione della coppia avvengono nello stesso punto, l’energia necessaria per separarli diventa infinita per l’attrazione elettrica tra elettrone e positrone, e la conservazione dell’energia non è soddisfatta.
Nella trattazione quantistica Feynman utilizzò il Principio di Incertezza (l’energia non si conserva durante il tempo del processo di creazione, né si definisce la posizione di ogni particella), e la postulazione di fotoni “virtuali” con velocità maggiore di c per non violare il principio di causalità, con cui il modello si adattava molto bene ai risultati sperimentali.
Tuttavia e date le trasgressioni relativistiche, ritengo che non sappiamo molto del processo reale.

È stato confermato sperimentalmente che una volta creato un positrone la sua condizione più probabile è che si leghi con un elettrone formando un sistema eccitato metastabile, chiamato “positronio”, con livelli di energia, e la cui emivita è dell’ordine di 10-7sec. Apparentemente non ha un livello fondamentale stabile.

Durante questo tempo il positronio (a riposo) decade emettendo fotoni di bassa energia (come qualsiasi atomo eccitato), e infine si annichilisce in due fotoni gamma identici di energia 0,511 Mev, emessi in opposizione (1800), un requisito necessario per la conservazione della quantità di moto.

Nota che sebbene l’energia del fotone iniziale sia maggiore di quella necessaria per creare la coppia elettrone-positrone, dopo la sua annichilazione otteniamo due fotoni gamma identici di energia esattamente uguale all’energia di riposo di ogni particella. L’energia in eccesso del fotone iniziale è stata consumata dopo la creazione del positronio in stato eccitato, per decadimento di esso con emissione di fotoni a bassa energia.

Tuttavia, c’è un caso molto importante quando la coppia elettrone-positrone non forma positronio. Se le particelle si scontrano con velocità diverse, entrambe vicine alla velocità della luce, come può succedere negli esperimenti negli acceleratori (CERN), si annichiliranno “al volo” senza formare uno stato metastabile precedente. In questo caso, i due fotoni gamma risultanti dall’annichilazione saranno identici, potranno formare angoli diversi di 180º nelle loro traiettorie di uscita e saranno più energetici (Ef > 0,511 Mev). Questo fatto sperimentale mostra la conversione totale della massa relativistica in radiazione.
In questo caso per ogni fotone gamma emesso è soddisfatto:

Gli apici e- ed e+ sono usati per evitare di confondere la massa relativistica con la massa propria.

Relazione tra energia e quantità di moto

L’equivalenza tra massa ed energia può essere espressa in relazione alla quantità di moto.

Questa espressione corrisponde a un importante invariante che discuteremo di seguito.
La massa a riposo di una particella libera deve essere la stessa in qualsiasi quadro di riferimento, altrimenti i sistemi inerziali non sarebbero equivalenti in quanto potrebbero essere distinguibili. Lo stesso accade con la lunghezza propria di un oggetto o il tempo proprio di un fenomeno.

Come conseguenza, per due osservatori inerziali avremo:

Questo invariante è simile a quello dell'”intervallo” discusso nella sezione sulle trasformazioni di Lorentz.

Nota:
La sua dimostrazione nello spazio di Minkowski è elegante e semplice, basata sulla trasformazione della quantità di moto come coordinate (x, y, z) e dell’energia come tempo.

La massa a riposo

Nel punto precedente abbiamo trattato il caso della costanza della massa a riposo per una particella libera. Vedremo che questo non è generale e che la massa a riposo può essere modificata in certe condizioni. Prima facciamo alcune precisazioni per evitare che gli amanti della bella formulazione geometrica della Relatività si suicidino in massa. Le invarianti ottenute in questo modello sono matematicamente rigorose, come accade per la massa propria (m0), e questo è una conseguenza di come si trasformano le “variabili” relative (E,p). La massa propria è allora un invariante che è costante semplicemente perché abbiamo stabilito che, per una particella puntiforme, l’unica modifica possibile quando le forniamo energia è che cambia solo la sua quantità di moto.
Quindi, anche se improbabile, se trovassimo qualche meccanismo di trasferimento di energia che non cambiasse la sua velocità, sarebbe inevitabile che la massa propria di una particella puntiforme cambiasse.

Prima di tutto, diciamo che ci sono altri processi (non applicabili alle particelle puntiformi), oltre al lavoro meccanico già visto, capaci di trasferire energia (riscaldamento, deformazione, attrito, assorbimento, ecc). Per esempio, se il corpo materiale è un sistema macroscopico a riposo, possiamo dare o togliere energia (Q) per scambio di calore.
Siccome questo meccanismo può essere fatto senza bisogno di modificare la sua velocità, dobbiamo concludere che la sua massa a riposo deve essere modificata, che nel caso in cui gli viene fornita energia sarà:

Se il sistema perde energia sarà sufficiente a cambiare il segno nella relazione precedente e la massa propria finale sarà inferiore.

Per un sistema macroscopico, la massa a riposo di esso è una funzione della temperatura.

In generale, se possiamo dare o togliere energia a un sistema fisico, sia esso puntiforme o esteso, senza cambiare la sua velocità, il sistema cambierà la sua energia totale, la sua massa relativistica e la sua massa propria, secondo il Principio di Equivalenza tra massa ed energia.

Nella cartella degli Argomenti Speciali saranno aggiunti due articoli: “Il Redshift in Relatività Speciale”, e “L’Effetto Mössbauer in Relatività Speciale”, legati alla variazione della massa di un sistema.

Secondo il Principio di equivalenza tra massa ed energia, qualsiasi sistema fisico formato da componenti interagenti deve avere una massa diversa dalla somma delle masse dei suoi componenti allo stato libero (non legati).

Analizziamo il caso più semplice possibile, che consiste in un sistema formato da due particelle che si attraggono, e supponiamo che inizialmente siano insieme e a riposo. Per separarli dobbiamo compiere un lavoro minimo (W), il cui valore rappresenta l’energia che deve essere fornita al sistema per slegare le particelle in modo che rimangano a riposo. Se viene fornita più energia del necessario (W), le particelle libere (non legate) avranno energia cinetica.
Quindi, il sistema con le particelle “attaccate insieme” ha meno energia dello stesso sistema a due particelle quando non sono legate. In generale, se il sistema e le particelle (identiche) sono a riposo, nella loro condizione di energia minima (bloccate insieme), la loro energia sarà:

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dove m0 è la massa propria di ogni particella e W è il lavoro necessario per slegarle (separarle).
È evidente che la massa del sistema è inferiore alla somma delle masse dei suoi componenti ( ).
Quando il sistema non è legato (particelle libere a riposo), la sua massa sarà 2m0.

Si postula di dimostrare che se le particelle del sistema si respingono, la massa del sistema sarà maggiore quando i suoi componenti sono “bloccati” insieme.

Vediamo ora il caso dell’atomo di idrogeno, formato da un elettrone e un protone.
L’energia di ionizzazione è 13,5984 eV, che rappresenta l’energia minima che devo fornire all’atomo per staccare il suo elettrone. Questa energia è troppo piccola per rilevare la differenza di massa tra l’atomo allo stato fondamentale e la somma delle masse dei suoi due componenti.

Secondo quanto abbiamo visto, la massa dell’atomo di idrogeno allo stato fondamentale deve essere inferiore alla somma delle masse del protone e dell’elettrone. Facciamo i conti:

  • Massa del protone: 1,6726 × 10-27 kg
  • Massa dell’elettrone: 9,11 × 10-31 kg
  • Massa dell’elettrone + Massa del protone: 1.673511 × 10-27 kg
  • Massa di H (stato fondamentale): mp+me – 13.5984 eV/c2 = 1.673510976 × 10-27 kg
  • Differenza di massa: 2.4 × 10-35 kg

Nota che la differenza di massa è 100 milioni di volte più piccola della massa del sistema.
Considerando che tutti gli atomi della tavola periodica hanno energie di legame elettronico dello stesso ordine di quello dell’idrogeno, la differenza di massa dovuta al legame con i suoi elettroni non sarà significativa.

Tuttavia, nell’atomo ci sono energie di legame molto più grandi, che sono quelle che legano le particelle del nucleo atomico (nucleoni), legate alle forze nucleari, di cui parleremo più avanti.

Defetto di massa

La differenza di massa di un nucleo atomico, misurata sperimentalmente (massa del sistema), e quella corrispondente al suo numero atomico (somma delle masse dei suoi componenti), è chiamata difetto di massa. Questo è esattamente quello che abbiamo appena analizzato nell’articolo precedente ma, in questo caso, con forze di legame molto più grandi.

Guardiamo un caso reale, il Deuterio ionizzato (isotopo dell’Idrogeno), il cui nucleo è composto da un protone e un neutrone. I valori delle masse corrispondenti sono:

  • Massa del protone: 1,0073 u
  • Massa del neutrone: 1,0087 u
  • Massa del deuterio: 2,0136 u

Effetto massa: (mp+mn) – mD = 0.0024 u

u = uma (unità di massa atomica) = 1,66053886×10-27 kg
L’energia corrispondente a un uma è 931,5 Mev.
L’energia di legame del deuterio è 2.23 MeV.

In questo caso la differenza di massa è 1000 volte più piccola della massa del sistema.
Rispetto al caso precedente (atomo di idrogeno) si può avere un’idea qualitativa della grandezza delle forze nucleari rispetto a quelle elettromagnetiche.

Tuttavia, il deuterio è un nucleo poco legato rispetto agli altri.
Le misure del difetto di massa dei diversi atomi sono molto importanti in Fisica Nucleare e nello studio delle reazioni nucleari, così come in Astrofisica, nei modelli sull’evoluzione delle stelle.

Quest’ultima voce (difetto di massa) può essere interessante o meno, perché sono semplicemente informazioni su dati reali misurati. Tuttavia, sottolineo che ai fini di questo corso, ciò che è veramente importante è che verifichino il Principio di Equivalenza e la variazione della massa propria del sistema.

Relatività dell’energia

È ovvio che l’energia di un sistema fisico è una grandezza relativa al sistema di riferimento. Prendiamo, per esempio, l’energia totale di una particella libera, di massa propria m0 e velocità costante v, la cui espressione è data da

Per due osservatori inerziali in moto relativo l’unica grandezza che ha valore diverso nell’espressione sopra è la velocità della particella.

Nota: In questo quadro teorico ogni grandezza propria di un corpo in moto uniforme è invariante. Altrimenti i sistemi inerziali sarebbero distinguibili, invalidando il principio di relatività.
Non si deve interpretare che l’auto-massa non può variare prima di certi processi, ma che prima delle trasformazioni di Lorentz l’auto-massa è la stessa per tutti gli osservatori inerziali.

Troviamo la legge di trasformazione dell’energia per due sistemi inerziali, usando il teorema di addizione della velocità.

Operando il radicando del denominatore nel secondo membro si ottiene la seguente uguaglianza

Riposizionando nell’espressione dell’energia otteniamo

Questa espressione è valida solo se la velocità relativa (V) tra sistemi inerziali è lungo l’asse x. Nel caso generale la legge di trasformazione è:

La trasformazione inversa si ottiene sostituendo V con -V, lasciando:

.

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