Espace d’état

Une forme générale de représentation de l’espace d’état d’un système linéaire avec p {affichage p}

p

entrées, q {affichage q}

q

sorties, et n {affichage n}.

n

variables d’état s’écrivent comme suit : x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {displaystyle {distyle {mathbf {x} }}(t)=A(t){mathbf {x}. (t)+B(t)\mathbf {u} (t) (t) (t)}

{div>{div>{div>{displaystyle {\dot {\mathbf {x}}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)}

. y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}

x ( t ) ∈ R n {affichage de style x(t){R} ^{n}}

{affichage de style x(t){R}. ^{n}}

es el vector de estados y ( t ) ∈ R q {\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}

{{displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}

es el vector de salidas u ( t ) ∈ R p {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}

{\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}

es el vector de entradas A ( t ) ∈ R n × n {\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}

{{displaystyle A(t)\in

es la matriz de estados B ( t ) ∈ R n × p {\displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n\times p}}

{{displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n\times p}}

es la matriz de entrada C ( t ) ∈ R q × n {\displaystyle C(t)\in \mathbb {R} ^{q\times n}}

{{displaystyle C(t)\in \mathbb {R} ^{q\times n}}

es la matriz de salida D ( t ) ∈ R q × p{displaystyle D(t)\in \{{mathbb {R} ^{q fois p}}

{displaystyle D(t)\in {mathbb {R} ^{q fois p}

est la matrice de transmission directe x ˙ ( t ) := d x ( t ) d t {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t):={mathbf {x} (t) \over dt}}

{displaystyle {dot {\mathbf {x} }}(t):={dmathbf {x} (t) {{dmathbf dt}}

Notez que dans cette formulation générale, toutes les matrices sont supposées être invariantes dans le temps, par exemple, certains ou tous leurs éléments peuvent être dépendants du temps. Dans les systèmes invariants dans le temps, les matrices A, B, C et D sont des constantes, elles ne sont pas fonction de t.

La variable temporelle t {displaystyle t}

t

peut être une variable « continue » (par exemple. Par exemple : t ∈ R {{displaystyle t {R} }

{displaystyle t {R} }

) ou discrète (par exemple . Par exemple : t ∈ Z {{displaystyle t\in \mathbb {Z} }

{displaystyle t\in \mathbb {Z} }

) : dans ce dernier cas, la variable temporelle est généralement notée k {displaystyle k}

k

. Selon les considérations prises, la représentation du modèle d’espace d’état peut prendre les formes suivantes :

.

Type de système Modèle d’espace d’état
Continu et invariant temporel x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {displaystyle {\dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x}. (t)+B {u} (t)}

{div>{displaystyle {dot {\mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+B « B » {u} (t)}

y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=Cathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}
Continu et variation dans le temps x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x}}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}

y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}

{\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {y} (t)=\mathbf {y} (t)}. (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}
Discret et invariant dans le temps x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=A\mathbf {x} (k+1) (k)+B\mathbf {u} (k)}

{\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=A\mathbf {x} (k)+B\mathbf {u} (k)}

y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k)}

{\displaystyle \mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k) (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k)}
Discrétion et variation dans le temps x ( k + 1 ) = A ( k ) x ( k ) + B ( k ) u ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)=\mathbf {x} (k) (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k) (k) (k)}

{\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}

y ( k ) = C ( k ) x ( k ) + D ( k ) u ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}

{\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}
Transformée de Laplace du système
continu et invariant dans le temps
s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s) (s)+B\mathbf {U} (s) (s)+B\mathbf {U} (s)}

{{displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}

Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) {{displaystyle \mathbf {Y} (s)=C {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)=Cathbf {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}
Transforme en Z du
système invariant en temps discret
z X ( z ) = A X ( z ) + B U ( z ) {{displaystyle zmathbf {X} (z)=Amathbf {X} (z)+Bmathbf {U} (z)}

{displaystyle z\mathbf {X} (z)=Amathbf {X} (z)+Bathbf {U} (z)}

Y ( z ) = C X ( z ) + D U ( z ) {{displaystyle \mathbf {Y} (z)=C {X} (z)+Dmathbf {U} (z)}

{displaystyle \mathbf {Y} (z)=Cmathbf {X} (z)+Dmathbf {U} (z)}

Notez que les systèmes invariants ne s’expriment que dans le domaine temporel ; seuls les invariants s’expriment également dans le domaine fréquentiel (avec la transformée de Laplace ou de Z).

La stabilité et la réponse naturelle caractéristique d’un système peuvent être étudiées à l’aide des valeurs propres (ou valeurs propres) de la matrice A {displaystyle A}

A

. La stabilité d’un modèle d’espace d’état invariant dans le temps peut être facilement déterminée en examinant la fonction de transfert du système sous forme factorisée. Il aurait une forme similaire à celle qui suit : G ( s ) = k ( s – z 1 ) ( s – z 2 ) ( s – z 3 ) ( s – p 1 ) ( s – p 2 ) ( s – p 3 ) ( s – p 4 ) { « G ( s ) = k ( s – z 1 ) ( s – z 2 ) ( s – p 3 ) ( s – p 4 ) { « playstyle {textbf {G}}(s)=k{frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}

{displaystyle {textbf {G}}(s)=k{frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}

Le dénominateur de la fonction de transfert est égal au polynôme caractéristique trouvé en prenant le déterminant de s I – A {{displaystyle sI–A}

{displaystyle sI-A}

, λ ( s ) = | s I – A | {displaystyle \mathbf {\lambda } (s)=|sI-A|}

{displaystyle \mathbf {\lambda } (s)=|sI-A|}

.

Les racines de ce polynôme (les valeurs propres) fournissent les pôles de la fonction de transfert du système. Ces pôles peuvent être utilisés pour analyser si le système est asymptotiquement ou marginalement stable. Une autre alternative pour déterminer la stabilité, qui n’implique pas les calculs des valeurs propres, est d’analyser la stabilité de Liapunov du système.Les zéros trouvés au numérateur de G ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s)}

{\displaystyle {\textbf {G}}(s)}

peuvent de la même manière être utilisés pour déterminer si le système possède une phase minimale.

Le système pourrait être stable par rapport à ses entrées et sorties même s’il est instable en interne. Cela pourrait être le cas si les pôles instables sont annulés par des zéros.

Modification de la contrôlabilité

Article principal : Contrôlabilité

La condition de contrôlabilité des états implique qu’il est possible, au moyen d’entrées admissibles, de diriger les états de n’importe quelle valeur initiale vers n’importe quelle valeur finale dans un intervalle de temps. Un modèle d’espace d’état continu et invariant dans le temps est contrôlable si et seulement si

rank = n {displaystyle {operatorname {rank} {begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n}

{displaystyle \operatorname {rank}{begin{bmatrix}BABABA^{2}B....}.A^{n-1}BEND{bmatrix}}=n}

ObservabilitéEdit

Article principal : Observabilité

L’observabilité est la mesure de la justesse avec laquelle les états internes d’un système peuvent être déduits en connaissant les sorties externes. Observabilité et contrôlabilité sont mathématiquement duales.

Un modèle d’espace d’état continu et invariant dans le temps est observable si et seulement si :

rank = n {displaystyle \operatorname {rank} {begin{bmatrix}=n}.

{displaystyle \operatorname {rank} {begin{bmatrix}C\CA^{n-1}end{bmatrix}=n}

(Le rang d’une matrice est le nombre de lignes linéairement indépendantes.)

Fonction de transfertModifier

Article principal:Fonction de transfert

La fonction de transfert d’un modèle à espace d’état continu et invariant dans le temps peut être obtenue comme suit :

En prenant la transformée de Laplace de

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {displaystyle {\dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+B {u} (t)}

{div>{displaystyle {dot {\mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+B « B » {u} (t)}

tenemos que

s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}

{{displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)}

Luego, agrupamos y despejamos X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X}

{\displaystyle \mathbf {X} (s)}

, dando ( s I – A ) X ( s ) = B U ( s ) {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {U} (s)}

{\displaystyle (s\mathbf {I} -A)\mathbf {X} (s)=B\mathbf {U} (s)}

X ( s ) = ( s I – A ) – 1 B U ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s)}

{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s)}

Esto es sustituido por X ( s ) {\displaystyle \mathbf {X}} (s)}

{\displaystyle \mathbf {X} (s)}

en la ecuación de salida Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)=C {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)=Cathbf {X} (s)+Dmathbf {U} (s)}

, il nous reste Y ( s ) = C ( ( ( s I – A ) – 1 B U ( s ) ) + D U ( s ) {{displaystyle \mathbf {Y} (s)=C((s) {I} -A)^{-1}B {U} (s))+Dmathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)=C((s\mathbf {I} -A)^{-1}B\mathbf {U} (s))+Dmathbf {U} (s)}

Puisque la fonction de transfert est définie comme le taux de sortie par rapport à l’entrée d’un système, nous prenons

G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) {displaystyle \mathbf {G} (s)= {Y} (s)/mathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {G} (s)=

et nous remplaçons les expressions précédentes par Y ( s ) {{displaystyle \mathbf {Y}}. (s)}

{displaystyle \mathbf {Y} (s)}

par rapport à U ( s ) { {displaystyle \mathbf {U} (s)}

{displaystyle \mathbf {U} (s)}

,en laissant G ( s ) = C ( s I – A ) – 1 B + D {{displaystyle \mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D}

{displaystyle \mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D}

En clair G ( s ) {{displaystyle \mathbf {G}} (s)}

{displaystyle \mathbf {G} (s)}

doit avoir q {displaystyle q}

q

par p {displaystyle p}

p

dimensions, ainsi qu’un total de q p {displaystyle qp}

{displaystyle qp}

éléments.Ensuite, pour chaque entrée, il existe q {displaystyle q}

q

fonctions de transfert avec une pour chaque sortie.C’est pourquoi la représentation de l’espace d’état peut facilement être le choix privilégié pour les systèmes à entrées et sorties multiples (MIMO).

Formes canoniquesEdit

Toute fonction de transfert qui est strictement propre peut être écrite comme un espace d’état avec l’approximation suivante :

Donné une fonction de transfert, développez-la pour révéler tous les coefficients du numérateur et du dénominateur. Il en résulte la forme suivante :

G ( s ) = n 1 s 3 + n 2 s 2 + n 3 s + n 4 s 4 + d 1 s 3 + d 2 s 2 + d 3 s + d 4 {displaystyle. {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}}

{\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}}

.

Les coefficients peuvent maintenant être insérés directement dans le modèle d’espace d’état par l’approximation suivante :

x ˙ ( t ) = x ( t ) + u ( t ) {displaystyle {textbf {x}}}(t)={begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-.d_{4}\\1&&&&&&&&&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

{\displaystyle {\dot {\textbf {x}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}-d_{2}-d_{3}-d_{4}\\1000\\0100\\0010\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

y ( t ) = x ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}&n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}

{\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}n_{2}n_{3}n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}

.

Cette réalisation de l’espace d’état est appelée forme canonique contrôlable car elle garantit que le modèle résultant est contrôlable (c’est-à-dire que, puisque le contrôle entre dans une chaîne d’intégrateurs, il peut modifier chacun des états). Si un système n’est pas contrôlable, il n’est pas possible de l’exprimer sous cette forme canonique.

Les coefficients de la fonction de transfert peuvent également être utilisés pour construire un autre type de forme canonique

x ˙ ( t ) = x ( t ) + u ( t ) {displaystyle {textbf {x}}}}(t)={begin{bmatrix}-.d_{1}&&&0\\-d_{2}&&&0\\-d_{3}&&&1\\-d_{4}&&&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{{begin{bmatrix}n_{1}{2}{3}{4}end{bmatrix}}{textbf {u}}(t)}

{\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&1&0&0\\-d_{2}&0&1&0\\-d_{3}&0&0&1\\-d_{4}&0&0&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

00000000000000>.d_{1}100\\-d_{2}010\\-d_{3}001\\-d_{4}000\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)} y ( t ) = x ( t ) {displaystyle {textbf {y}}(t)={begin{bmatrix}1&&&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}

{displaystyle {textbf {y}}(t)={begin{bmatrix}1000end{bmatrix}}{textbf {x}}(t)}

.

Cette disposition est appelée la forme canonique observable et, de manière analogue au cas précédent, le modèle résultant est nécessairement observable (c’est-à-dire que, comme la sortie procède d’une chaîne d’intégrateurs, sa valeur est affectée par chacun des états). Un système non observable ne peut pas être mis sous cette forme.

Fonctions de transfert propresModifier

Les fonctions de transfert qui ne sont que propres (et non strictement propres) peuvent aussi être transformées en formes canoniques. L’artifice utilisé consiste à séparer la fonction de transfert en deux parties, une strictement propre et une constante.

G ( s ) = G E x P r ( s ) + G ( ∞ ) {displaystyle {textbf {G}}(s)={textbf {G}}_{ExPr}(s)+{textbf. {G}}(\infty )}

{displaystyle {\textbf {G}}(s)={\textbf {G}}_{ExPr}(s)+{\textbf {G}}(\infty )}

La fonction strictement eigentransfer peut maintenant être transformée en représentations canoniques de l’espace d’état en utilisant les techniques montrées ci-dessus. La représentation de l’espace d’état de la constante est triviale.

y ( t ) = G ( ∞ ) u ( t ) {{displaystyle {textbf {y}}(t)={textbf {G}}(\infty ){textbf {u}}(t)}

{displaystyle {textbf}}. {y}}(t)={textbf {G}}(\infty ){textbf {u}}(t)}

En mettant les deux termes ensemble, on obtient les représentations de l’espace d’état avec les matrices A, B et C déterminées par la partie strictement propre et la matrice D déterminée par la constante.

Voici un exemple pour clarifier :

G ( s ) = s 2 + 3 s + 3 s 2 + 2 s + 1 = s + 2 s 2 + 2 s + 1 + 1 {{displaystyle {textbf {G}}(s)={frac. {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}

{displaystyle {textbf {G}}(s)={frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}

ce qui conduit à la représentation contrôlable suivante

x ˙ ( t ) = x ( t ) + u ( t ) {{displaystyle {textbf {x}}(t)={begin{bmatrix}-.2&&0{0begin{bmatrix}}{textbf {x}}(t)+{begin{bmatrix}1

{displaystyle {dot {textbf {x}}(t)={begin{bmatrix}-2- {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1

2\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}

{displaystyle {textbf {y}}(t)={begin{bmatrix}12end{bmatrix}}{textbf {x}}(t)+{begin{bmatrix}1end{bmatrix}}{textbf {u}}(t)}

Notez comment la sortie dépend directement de l’entrée. Ceci est dû à la constante G ( ∞ ) { {displaystyle {textbf {G}}(\infty )}

{displaystyle {textbf {G}}}(\infty )}

dans la fonction de transfert.

FeedbackEdit

Une méthode utilisée pour la rétroaction consiste à multiplier la sortie par une matrice K et à placer le résultat comme entrée du système : u ( t ) = K y ( t ) {{displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}

{displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}

.Comme les valeurs de K ne sont pas limitées et peuvent être changées de signe pour une rétroaction négative.La présence d’un signe négatif (la notation commune) est pour des raisons de notation seulement et son absence n’affecte pas les résultats. x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+B {u} (t)}

{div>{displaystyle {dot {\mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+B « B » {u} (t)}

y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=C {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=Cathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}

résulte en

x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B K y ( t ) {displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+BKKmathbf {y} (t)}

{div>{displaystyle {dot {\mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+BKKMathbf {y} (t)}

y ( t ) = C x ( t ) + D K y ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+DKmathbf {y} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+DKMathbf {y} (t)}

Résoudre l’équation de sortie de y ( t ) {{displaystyle \mathbf {y}}. (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)}

et en le substituant dans l’équation d’états, on obtient x ˙ ( t ) = ( A + B K ( I – D K ) – 1 C ) x ( t ) {{displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right){\mathbf {x} (t)}

{displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BKK\left(I-DK\right)^{-1}C\right){\mathbf {x} (t)}

y ( t ) = ( I – D K ) – 1 C x ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}

L’avantage de ceci est que les valeurs propres de A peuvent être contrôlées en choisissant K de manière appropriée en décomposant en ses valeurs propres de ( A + B K ( I – D K ) – 1 C ) {{displaystyle \left(A+BKKleft(I-DK\right)^{-1}C\right)}

{displaystyle \left(A+BKK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}

.Ceci suppose que le système en boucle ouverte est contrôlable ou que les valeurs propres instables de A peuvent être stabilisées par le choix approprié de K.

Une simplification courante de ce système consiste à éliminer D et à choisir C égal à l’unité, ce qui réduit les équations à

x ˙ ( t ) = ( A + B K ) x ( t ) { {displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right){\mathbf {x} (t)}

{displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)}

y ( t ) = x ( t ) {displaystyle {mathbf {y} (t)= {« {x} (t)}

{displaystyle \mathbf {y} (t)=mathbf {x} (t)}

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